图卷积网络到底怎么做，这是一份极简的Numpy实现

由于图结构非常复杂且信息量很大，因此对于图的机器学习是一项艰巨的任务。本文介绍了如何使用图卷积网络(GCN)对图进行深度学习，GCN 是一种可直接作用于图并利用其结构信息的强大神经网络。

本文将介绍 GCN，并使用代码示例说明信息是如何通过 GCN 的隐藏层传播的。读者将看到 GCN 如何聚合来自前一层的信息，以及这种机制如何生成图中节点的有用特征表征。

何为图卷积网络?

GCN 是一类非常强大的用于图数据的神经网络架构。事实上，它非常强大，即使是随机初始化的两层 GCN 也可以生成图网络中节点的有用特征表征。下图展示了这种两层 GCN 生成的每个节点的二维表征。请注意，即使没有经过任何训练，这些二维表征也能够保存图中节点的相对邻近性。

更形式化地说，图卷积网络(GCN)是一个对图数据进行操作的神经网络。给定图 G = (V, E)，GCN 的输入为：

一个输入维度为 N × F⁰ 的特征矩阵 X，其中 N 是图网络中的节点数而 F⁰ 是每个节点的输入特征数。

一个图结构的维度为 N × N 的矩阵表征，例如图 G 的邻接矩阵 A。[1]

因此，GCN 中的隐藏层可以写作 Hⁱ = f(Hⁱ⁻¹, A))。其中，H⁰ = X，f 是一种传播规则 [1]。每一个隐藏层 Hⁱ 都对应一个维度为 N × Fⁱ 的特征矩阵，该矩阵中的每一行都是某个节点的特征表征。在每一层中，GCN 会使用传播规则 f 将这些信息聚合起来，从而形成下一层的特征。这样一来，在每个连续的层中特征就会变得越来越抽象。在该框架下，GCN 的各种变体只不过是在传播规则 f 的选择上有所不同 [1]。

传播规则的简单示例

下面，本文将给出一个最简单的传播规则示例 [1]：

f(Hⁱ, A) = σ(AHⁱWⁱ)  

其中，Wⁱ 是第 i 层的权重矩阵，σ 是非线性激活函数(如 ReLU 函数)。权重矩阵的维度为 Fⁱ × Fⁱ⁺¹，即权重矩阵第二个维度的大小决定了下一层的特征数。如果你对卷积神经网络很熟悉，那么你会发现由于这些权重在图中的节点间共享，该操作与卷积核滤波操作类似。

简化

接下来我们在最简单的层次上研究传播规则。令：

i = 1，(约束条件 f 是作用于输入特征矩阵的函数)

σ 为恒等函数

选择权重(约束条件： AH⁰W⁰ =AXW⁰ = AX)

换言之，f(X, A) = AX。该传播规则可能过于简单，本文后面会补充缺失的部分。此外，AX 等价于多层感知机的输入层。

1. 简单的图示例

我们将使用下面的图作为简单的示例：

一个简单的有向图。

使用 numpy 编写的上述有向图的邻接矩阵表征如下：

A = np.matrix([ 

    [0, 1, 0, 0], 

    [0, 0, 1, 1],  

    [0, 1, 0, 0], 

    [1, 0, 1, 0]], 

    dtype=float 

) 

接下来，我们需要抽取出特征!我们基于每个节点的索引为其生成两个整数特征，这简化了本文后面手动验证矩阵运算的过程。

In [3]: X = np.matrix([ 

            [i, -i] 

            for i in range(A.shape[0]) 

        ], dtype=float) 

        X 

Out[3]: matrix([ 

           [ 0.,  0.], 

           [ 1., -1.], 

           [ 2., -2.], 

           [ 3., -3.] 

        ]) 

2. 应用传播规则

我们现在已经建立了一个图，其邻接矩阵为 A，输入特征的集合为 X。下面让我们来看看，当我们对其应用传播规则后会发生什么：

In [6]: A * X 

Out[6]: matrix([ 

            [ 1., -1.], 

            [ 5., -5.], 

            [ 1., -1.], 

            [ 2., -2.]]